Ciao,
Se non funzionano è perché una o più "lucine" sono andate a farsi friggere. Visto che sono collegate in serie, basta che non ne funzioni una che tutto il circuito non funziona. Individuare la lucina bruciata è davvero molto difficile e soprattutto molto noioso, visto che bisognerebbe guardare un diodo led alla volta.
Spesso le persone per "riparare", per esempio il tuo circuito, fanno il cosiddetto "ponte" sulla lucina che non funzionava e "magicamente" si sentono fieri di se stessi perché pensano di aver riparato il circuito. Ma purtroppo non è cosi, hanno solo peggiorato la situazione. Mi spiego (mi baso sempre sul tuo circuito):
I componenti (in questo caso i diodi led) di un circuito collegato in serie, si dividono fra di loro la tensione (in questo caso 220/230V). Queste lucine possono sopportare circa 1,5/2,0V massimo. Mettendone tante in fila, visto che si dividono in modo uguale la tensione, anche un piccolissimo led che può sopportare massimo 2,0V riesce a stare alimentato con la 230 senza esplodere! Facendo un piccolo calcolo: [ 140 lucine / 220/230V (circa) ] si trova la tensione che si dividono fra di loro queste lucine [ 1,68V (circa) ].
Se mi sono spiegato bene (cosa che dubito ), quando si fa il "ponte", la tensione che si dividono fra di loro le lucine aumenta. Aumentando, aumenta anche il rischio che si rompano (andando nel tecnico, vi sono valori di picco nella tensione alternata di 220/230V che arrivano anche a 310V!) le lucine, visto che riescono a sopportare massimo 2,0V. Per questo motivo, il tipo che ha fatto il ponte nel circuito ha peggiorato la situazione e quindi il circuito durerà ancora per poco, perché si romperanno sempre più led e vi saranno sempre più "ponti".
Passando alla seconda domanda:
Per fare un circuito tipo questo con 25 lucine, quindi circuito in serie con dei led, devi vedere innanzitutto quanta tensione riescono a sopportare (tieni conto anche dei valori di picco!). In base a questo vedi poi quanta tensione ti rimane. Quella la devi far "mangiare" da una o più resistenze. Esempio: se non vuoi le resistenze devi trovare 25 lucine da 9,5V, le colleghi in serie e loro si dividono i 230V. Però queste lucine sono un po' grandi (big led), visto che devono sopportare più elettroni. Ma ci sono anche altri modi per fare il tuo circuito. Per calcolare tipo: che resistenza devo comprare? Quante luci devo mettere con 2xxV? Ecc... cerca su google: "Legge di Ohm". Sono tre leggi (formule) che ti permettono di calcolare i Volt (tensione), gli Ampere (intensità) e gli Ohm (resistenza).
Magari prova a leggere anche questi articoli, ti saranno d'aiuto!
Spero di essere stato chiaro e soprattutto che non abbia fatto qualche errore di calcolo, visto che è da molto che non faccio circuiti elettronici